Definições:
Régua: dados dois pontos, podemos construir a reta infinita que passa por eles.
Compasso: dados dois pontos, podemos construir a hiperesfera centrada em um e que passa pelo outro.
Em uma dimensão, só dá pra construir os inteiros.
Em duas dimensões, dá pra construir fácil qualquer racional p/q com essa construção:
Construindo 2/3
Prova: f(0)=0, f(p)=q, f(x)=ax+b, b=0, f(x)=ax, f(p)=pa=q, a=q/p, f(p/q)=p/q.q/p=1, QED
Dá para construir qualquer raiz quadrada? sqrt(p/q)?
Em aberto 1: Dá pra construir uma hierarquia de irracionais, associando cada um à menor dimensão que ele aparece?
Em aberto 2: Quais irracionais não são construtiveis assim? (todos os transcendentes, ou tem algébrico que não dá)?
Em aberto 3: E em geometrias não-euclideanas? Como definir régua e compasso?
Em aberto 4: Dimensões fracionárias?
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